超速習 微分積分 計算編
第六回 高等学校数学における微分方程式
微分積分の目的: 微分方程式が解けるようになる
微分方程式とは: 未知の関数とその導関数との関係を表す方程式
- 導関数に注目
- 常微分方程式: 1変数関数の導関数
- 偏微分方程式: 多変数関数の偏導関数
- 式の形に注目
- 線型微分方程式: 導関数は線型結合
- 非線形分方程式: 導関数は線型結合以外のなにか
- 式の数に注目: 連立微分方程式
- 微分の回数に注目: 高階微分方程式
大学入試レベルでは，1階単独線型常微分方程式か，2階線型常微分方程式程度を取り扱う
いろんな形の微分方程式があるので，そのあたりは出てきた都度調べるでいいと思います．
1階単独線型常微分方程式
次の微分方程式をyについて解け
和形式(積分因子形)
.png)
.png)
y=Q(x).png)
求める関数yの係数がxの多項式の場合、両辺に積分因子
dx}.png)
を乗ずると解ける
積形式(変数分離形)
y=0.png)
求める関数yの導関数がyとxの関数の積に等しい場合、yの関数をyの導関数の係数に・xの関数を右辺に移項すると解ける
g(x)=0.png)
g(x).png)
}\frac{dy}{dx}=g(x)\rightarrow \frac{dy}{f(y)}=g(x)dx.png)
; 変数分離形
和積混合形式(定数変化法...後の回で言及予定)
2階単独線型常微分方程式
次の微分方程式をyについて解け
\frac{dy}{dx}-\alpha\beta y.png)
- ヒント1:
- ヒント2: 合成関数の微分公式を使う
- ヒント3:
- ヒント4:
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