dt=f(x)-f(a).png)
(微分した関数を積分すると元の関数とたかだか定数の和に戻る)dt=f(x).png)
(積分した関数を微分すると元の関数に戻る) (微分した関数を積分すると元の関数とたかだか定数の和に戻る) (積分した関数を微分すると元の関数に戻る)dt=f(b)-f(a).png)
,不定積分dx=f(x)+C.png)
dt=F(b)-F(a).png)
,不定積分dx=F(x)+C\ \ (F'(x)=f(x)).png)
\Delta x_n\overset{\mathrm{def}}{=}\int_a^bf'(t)dt.png)
を示す. ここで、
=\lim_{\Delta x_n\to 0}\frac{f(x + \Delta x_n)- f(x)}{\Delta x_n}.png)
より，(左辺)- f(a_k)}{\Delta x_n}\Delta x_n.png)
- f(a_k).png)
-f(a_k).png)
\Delta x_n=a_{k+1}.png)
- f(a_0).png)
)- f(a).png)
-f(a)=f(b)-f(a)=C.png)
(定数)dt.png)
ということ=x.png)
の時、\Delta x_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}a_k\Delta x_n=?=\int_0^btdt.png)
\Delta x_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}k(\frac{b-a}{n}\frac{b-a}{n}+a\frac{b-a}{n}).png)
^2}{n^2}\sum_{k=0}^{n}k+a\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n}1)\}=\lim_{n\to\infty}\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+a\frac{b-a}{n}(n+1).png)
^2}{2}\frac{n}{n}\frac{n+1}{n}+a(b-a)\frac{n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(b-a)^2+2a(b-a)}{2}(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2}(b^2-a^2).png)
=\frac{1}{2}x^2.png)
の時、-f(a)=\int_a^b f'(t)dt=\int_a^b tdt.png)
}{2}.png)
を利用していることに注目。この式は
に相当。=x^2.png)
の時、\Delta x_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}a_k^2\Delta x_n=?=\int_0^bx^2dx.png)
^2\Delta x_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}(k^2(\frac{b-a}{n})^2\frac{b-a}{n}+2ak\frac{b-a}{n}\frac{b-a}{n}+a^2\frac{b-a}{n}).png)
^3\sum_{k=0}^{n}k^2+2a(\frac{b-a}{n})^2\sum_{k=0}^{n}k+a^2\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n}1\}.png)
^3\sum_{k=0}^{n}\{k(k+1)-k\}+2a(\frac{b-a}{n})^2\frac{n(n+1)}{2}+a^2(b-a)\frac{n+1}{n}\}.png)
^3(\sum_{k=0}^{n}k(k+1)-\sum_{k=0}^{n}k\})+a(b-a)^2(\frac{n}{n}\frac{n+1}{n})+a^2(b-a)\frac{n+1}{n}\}.png)
^3(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2})+a(b-a)(b-a+a)(1+\frac{1}{n})\}.png)
^3}{3}(\frac{n}{n}\frac{(n+1)}{n}\frac{(n+2)}{n}-\frac{3n(n+1)}{2n^3})+ab(b-a)(1+\frac{1}{n})\}.png)
^3}{3}+ab(b-a)=\frac{1}{3}((b-a)^3+3ab(b-a))=\frac{1}{3}(b^3-a^3)=\frac{1}{3}b^3-\frac{1}{3}a^3.png)
=\frac{1}{3}x^3.png)
の時、-f(a)=\int_a^b f'(t)dt=\int_a^b t^2dt.png)
=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.png)
を利用していることに注目。この式は
に相当。で両辺を微分する．dt=f'(x).png)
したがって，関数がなんであれ積分したものを微分すると元に戻る.png) : 導関数 | .png) : 原始関数 |
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+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx.png)
dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx.png)
dx=-\int_b^af(x)dx.png)
dx=\int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}dt=\int f(\phi(t))\phi'(t)dt.png)
★超重要★g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx.png)
★困った時は部分積分★Q1.(\beta-x)dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}.png)
Q2.円の面積: 
Q3.半径rの球に外接する円柱の体積:=2\pi r^3.png)
Q4.半径rで高さrの円錐の体積: 
Q5.y=f(x)=xにおける，x軸での回転体の体積: ^2dx=\frac{1}{3}\pi r^3.png)
Q6.球の体積: 
Q7.=\sqrt{r^2-x^2}.png)
における，x軸での回転体の体積:
^2dx=\int_{-r}^r\pi(r^2-x^2)dx=\pi\int_{-r}^r(x+r)(r-x)dx=\frac{\pi}{6}(r-(-r))^3.png)
また，dx=\int_{-r}^r\pi r^2dx-\int_{-r}^r\pi x^2dx=.png)
(円柱の体積)-(2つの円錐の体積)
Q1. }dx=log\frac{x}{x+1}+C.png)
Q2. 
としてみよ
Q3. 
Q4. +C.png)