超速習 微分積分 計算編

第三回 高等学校数学における積分の基礎

積分の基礎の目的: 数列の漸化式(ゼンカシキ)を解けるようになる

数列

  1. 数列の表記
  2.  
  3. 数列の定義  
  4.  
  5. 特殊な数列  
  6.  
  7. 漸化式の分類
       
    1. 隣接二項間漸化式:
    2.  
    3. 定数係数線型隣接二項間漸化式: ... 等差数列や等比数列はここに含まれる(高校教科書レベル)
    4.  
    5. 階差隣接二項間漸化式: ... (大学入試レベル:難)p=1の場合(高校教科書レベル)を本回演習で触れる
    6.  
    7. 隣接三項間漸化式:
    8.  
    9. 定数係数線型隣接三項間漸化式: ... フィボナッチ数列はここ(大学入試レベル)
    10.  
    11. 定数係数線型連立漸化式: ... 行列の固有値と固有ベクトルを使って解く(学部数学レベル)

数列の解析手法: 隣接二項間の差と積

Q1.、次の数列を隣接二項間の漸化式で表現し,一般項を求めなさい

     
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Q2.次の漸化式の一般項を求めなさい,漸化式でない場合は漸化式を立ててから一般項を求めなさい

     
  1.  
  2.  
  3.  
  4. ; フィボナッチ数列
  5.  

補遺1: 定数係数線型隣接二項間漸化式は,完全に解くことができる

補遺2: 定数係数線型隣接三項間漸化式は,完全に解くことができる

演習.図形の面積と数列の和の関係

予備知識:

     
  1. 底辺4、高さ4の直角二等辺三角形の面積を求めなさい
  2.  
  3. 底辺n、高さnの直角二等辺三角形の面積を求めなさい
  4.  
  5. y≦x (0≦x≦n,y≧0)の領域の面積を求めなさい
  6.  
  7. を証明しなさい
  8.  
  9. 数列の一般項を求めなさい
  10.  
  11. の時、を証明しなさい ... 補遺3
  12.  
  13. を求めなさい … 2.と3.の結果と等しいのは、この式が三角形の面積を表していることを意味する(図で解説する)
  14.  
  15. とすると、 となることを証明しなさい … 奇数の和は平方数に等しい.Q1の2の計算過程を比較してみよ.また、これが正方形の面積を表していることを解説する
  16.  
  17. を証明しなさい
  18.  
  19. を求めなさい
  20.  
  21. の時,として,を求めなさい
  22.  
  23. を求めなさい
  24.  

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