超速習 微分積分 計算編

第二回 高等学校数学による微分

微分の目的: 解析=初等関数(無限次の関数を含む)のグラフ描画ができるようになる

級数とは: 無限次の項を持つ関数の表現形式の一つ

  1. 級数の表記:
  2.  
  3. 級数の定義: 無限個の項の総和
       
    • 等比級数:
    •  
    • べき級数:
    •  
    • テイラー級数:
    •  
    • 関数項級数:
    •  
    • ...
    •  
  4.  
  5. 関数の級数展開:
       
    • 元の関数の導関数でテイラー級数に展開される
    •  
    • によらない数列とべき乗数でべき級数に展開される
    •  
    • によらない定数によらない定数 で等比級数に展開される
  6.  
  7. 無限次の項を持つ関数の導関数のまとめ:
     
    関数導関数
 

微分の公式

これまで登場してきた関数の和・積(商)の組み合わせの関数の微分は次の公式を使用する.

     
  1. 関数の積商の微分
       
    •  ★超重要★
    •  
    • ... 証明せよ
    •  
    • 補遺: 式の形が積の場合には,関数の積の微分公式を使った方が計算が楽な場合がある.
    •  
    • たとえば,
    •  
    • たとえば,

    •  
    • たとえば,

  2.  
  3. 合成関数、逆関数の微分
         
    1. 媒介変数表示関数の微分:
    2. 逆関数の微分: ... a.を用いて証明せよ
    3. 合成関数の微分: ... a.とb.を用いて証明せよ ★超重要★
    4.  
    5. b.とc.を用いてa.を証明せよ
     

微分とは何か...一次近似: 一次関数とみなすこと

テイラー級数展開をすると...

   ここで,x-a=hとすると,

   hが十分小さいとき,hkの係数項は0とみなせる.

「x-a=hが十分小さい」を値0で表現すると,一次関数とみなす=直線で近似=導関数は傾き

なお「hが十分小さい」を極限で表現すると,   これは,微分の定義式と一致する.

演習: 無限次の項を持つ関数(=級数)の微分

Q1. 等比級数を証明せよ

 

Q2.指数関数をテイラー級数展開した後に微分してみよ

 

Q3.三角関数をテイラー級数展開せよ.その後を示せ

 

Q4.応用: 三角関数sin(x)のグラフを描画せよ


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