超速習 微分積分 計算編
第二回 高等学校数学による微分
微分の目的: 解析=初等関数(無限次の関数を含む)のグラフ描画ができるようになる
級数とは: 無限次の項を持つ関数の表現形式の一つ
- 級数の表記:
- 級数の定義: 無限個の項の総和
- 等比級数:
- べき級数:
- テイラー級数:
- 関数項級数:
- ...
- 関数の級数展開:
- 元の関数の導関数でテイラー級数に展開される
- によらない数列とべき乗数でべき級数に展開される
- によらない定数と
によらない定数
で等比級数に展開される
- 無限次の項を持つ関数の導関数のまとめ:
微分の公式
これまで登場してきた関数の和・積(商)の組み合わせの関数の微分は次の公式を使用する.
- 関数の積商の微分
- ★超重要★
- ... 証明せよ
- 補遺: 式の形が積の場合には,関数の積の微分公式を使った方が計算が楽な場合がある.
- たとえば,
- たとえば,
- たとえば,
- 合成関数、逆関数の微分
- 媒介変数表示関数の微分:
- 逆関数の微分: ... a.を用いて証明せよ
- 合成関数の微分: ... a.とb.を用いて証明せよ ★超重要★
- b.とc.を用いてa.を証明せよ
微分とは何か...一次近似: 一次関数とみなすこと
テイラー級数展開をすると...
ここで,x-a=hとすると,
hが十分小さいとき,hkの係数項は0とみなせる.
「x-a=hが十分小さい」を値0で表現すると,を一次関数とみなす=直線で近似=導関数は傾き
なお「hが十分小さい」を極限で表現すると, これは,微分の定義式と一致する.
演習: 無限次の項を持つ関数(=級数)の微分
Q1. 等比級数を証明せよ
Q2.指数関数をテイラー級数展開した後に微分してみよ
Q3.三角関数をテイラー級数展開せよ.その後を示せ
Q4.応用: 三角関数sin(x)のグラフを描画せよ
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