の総和
(
)
で表現する有限の項で構成される関数- 一次関数 ...
=a+bx.png)
- 二次関数 ...
=a+bx+cx^2.png)
- 三次関数 ...
=a+bx+cx^2+dx^3.png)
- 有理関数(＝分数関数) ...
=\frac{c+dx}{a+bx}.png)
など。一般的には(
)
=Ce^{ax}.png)
=log_ax.png)
(
なら
とも)
の総和
()
で表現する有限の項で構成される関数など。一般的には() (ならとも)直角三角形の底辺をx、高さをy、対角をrとすると、
三平方の定理から
したがって、三角関数の定義から
=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df}{dx}.png)
=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2f}{dx^2}.png)
}=f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)=\frac{d^nf}{dx^n}.png)
.png)
の導関数.png)
とは、=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.png)
は実数
は実数
はとりあえず自然数.png)
の時、
=c, f(x)=c.png)
したがって、=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to0}0=0.png)
.png)
の時、
=a(x+h), f(x)=ax.png)
したがって、=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{a(x+h)-ax}{h}=\lim_{h\to0}\frac{ah}{h}=\lim_{h\to0}a=a.png)
.png)
の時、
=(x+h)^n, f(x)=x^n.png)
したがって、=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+?x^{n-2}h^2...+h^n}{h}.png)
よって(左辺)
に注目すると、
の時、
これは、
の場合に等しい
の時、
。これも同様。が成り立つだけ覚えておけばよい詳しくはGoogle先生に聞いてもらうとして、
^n.png)
を展開した第k項
の係数
は、
である。
Q1.+bg(x)\}'}=af'(x)+bg'(x).png)
を証明せよ
Q2.初等関数のうち多項式関数のグラフを描画せよ: 増減表
のグラフ(x-\beta).png)
のグラフ(x-\beta)^2.png)
のグラフ微分方程式は，未知の関数を求める式．ただし，式が求められたからといって，どのような軌跡を描くかは，一見してわからない．そこで，この関数を描くために微分を使用する．
Q2.3.において，y=0の解はα，β(二重根)である．そのため，増減表は
$ & + & $\nearrow$ & + & 0 & - & $\searrow $ & - & 0 & + \\ \hline $y''=f''(x)$ & - & $\downarrow$ & - & $\downarrow$ & - & 0 & + & $\uparrow$ & + \\ \hline $y=f(x)$ & $\nearrow\rightarrow$ & 0 & $\nearrow\rightarrow$ & *1 & $\rightarrow\searrow$ & *2 & $\searrow\rightarrow$ & *3)0 & $\rightarrow\nearrow$ \\ \hline \end{tabular}.png)
となる
ここで，*1)極大値，*2)変曲点，*3)極小値となる．